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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

オイラー・ラグランジュ方程式からマクスウェル方程式の導出2

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
 \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}&=&-\frac{1}{4}\frac{\partial\mathcal{(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\\
&=&-\frac{1}{4}\bigg(\mathcal{F}_{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F^{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}+\mathcal{F}^{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg)
\end{eqnarray}
}

「次に、上式第2行目の第1項目の被微分関数 F^{\mu\nu}が上付きの添字となっていることから、この微分計算ができるように、計量テンソルgをつかって添字を上付きから下付きに変えたいと思います」

ルール:上下に同じ添字が現れたとき、これらの添字が打ち消しあって消える
 g_{ij}A^{jk}=A_i^k(上下の同一の添字jが打ち消しあい、下付きの添字iと上付きの添字kが残る)

「上のルールにしたがって、添字の上下を入れ替えていきます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{F}_{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F^{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}&=&g^{\mu\rho}\mathcal{F}_{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_\rho^\nu}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\\
&=&g^{\mu\rho}g^{\nu\sigma}\mathcal{F}_{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\rho\sigma}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}
\end{eqnarray}
}

「このように、2つの計量テンソルg^{\mu\rho}, g^{\nu\sigma}を用いることによって、F^{\mu\nu}の上付きの符号を下付きの符号F_{\rho\sigma}に変えることができました。ここで、さらに2つの計量テンソルg^{\mu\rho}, g^{\nu\sigma}微分の外にある\mathcal{F}_{\mu\nu}に作用させてみます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{F}_{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F^{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}
&=&g^{\mu\rho}g^{\nu\sigma}\mathcal{F}_{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\rho\sigma}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\\
&=&g^{\nu\sigma}\mathcal{F}^\rho_\nu\frac{\partial\mathcal{F_{\rho\sigma}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\\
&=&\mathcal{F}^{\rho\sigma}\frac{\partial\mathcal{F_{\rho\sigma}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}
\end{eqnarray}
}

「なお、上式の最後の行において、添字\rho, \sigmaをそれぞれ\mu, \nuに変えても一般性は失われません。すると結局、次の式が成り立つことがわかります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{F}_{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F^{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}
&=&\mathcal{F}^{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}
\end{eqnarray}
}

「この関係式を一番最初の式に代入すると、次のようになることがわかります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
 \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}&=&-\frac{1}{4}\frac{\partial\mathcal{(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\\
&=&-\frac{1}{4}\bigg(\mathcal{F}_{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F^{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}+\mathcal{F}^{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg)\\
&=&-\frac{1}{4}\bigg(\mathcal{F}^{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}+\mathcal{F}^{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg)\\
&=&-\frac{1}{2}\bigg(\mathcal{F}^{\mu\nu}\frac{\partial\mathcal{F_{\mu\nu}}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg)
\end{eqnarray}
}