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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

オイラー・ラグランジュ方程式からガウスの法則の導出

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
 \partial_\alpha\bigg( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}\bigg)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_\beta}&=&0^\beta\\
 -\partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha\beta}-0^\beta&=&0^\beta\\
\partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha\beta}&=&0^\beta
\end{eqnarray}
}

「次に、\beta=0とした場合の上の運動方程式 \partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha\beta}=0^\betaの具体的な形を見てみましょう」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha0}&=&\partial_0\mathcal{F}^{00}+\partial_i\mathcal{F}^{i0}=0
\end{eqnarray}
}

 F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\muから、 F_{00}=\partial_0 A_0-\partial_0 A_0=0であり、また、 E^i=-F^{0i}=F^{i0}から、上の運動方程式は次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\partial_0\mathcal{F}^{00}+\partial_i\mathcal{F}^{i0}&=&0\\
\partial_iE^i&=&0
\end{eqnarray}
}

「これは、電荷密度がないときのガウスの法則 \nabla\cdot{\bf{E}}=0に他なりません」

電荷密度がないときのガウスの法則: \nabla\cdot{\bf{E}}=0