スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

エネルギー・運動量テンソルの式から電磁気エネルギーの式の導出3


{ \displaystyle \begin{eqnarray} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} &=&-2E^2+(\epsilon_{ijk}\epsilon^{ijl})B_kB^l\\ \end{eqnarray} }

「次に、レヴィ=チヴィタ記号 \epsilon_{ijk}の積には、次のような性質があることが知られています」


{ \displaystyle \begin{eqnarray} \Sigma_{ij}\epsilon_{ijk}\epsilon^{ijl}=2\delta_{k}^{\,\,l}\\ \end{eqnarray} }

「この性質を用いると、最初の式は次のようになります」


{ \displaystyle \begin{eqnarray} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} &=&-2E^2+(\epsilon_{ijk}\epsilon^{ijl})B_kB^l\\ &=&-2E^2+2\delta_{k}^{\,\,l}B_kB^l\\ &=&-2E^2+2B^2\\ &=&-2(E^2-B^2)\\ \end{eqnarray} }

「それゆえ、ラグランジアン密度 \mathcal{L}は、次のようになります」


{ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}&=&-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\\ &=&\frac{1}{2}(E^2-B^2) \end{eqnarray} }

「このラグランジアン密度 \mathcal{L}をエネルギー・運動量テンソル \hat{T}^{00}の式に代入すると、次のようになります」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{00} &=&{E}^2-\mathcal{L}\\ &=&{E}^2-\frac{1}{2}(E^2-B^2)\\ &=&\frac{1}{2}(E^2+B^2) \end{eqnarray} }

「エネルギー・運動量テンソルのうち、時間変換に関係した保存チャージ T^{00}は、ハミルトニアン \mathcal{H}、すなわちエネルギー密度なので、結局、電磁気エネルギー密度の式\varepsilonが導かれます」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{00}&=&\varepsilon=\frac{1}{2}(E^2+B^2) \end{eqnarray} }

エネルギー・運動量テンソルの式から電磁気エネルギーの式の導出2

{ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{00} &=&-\mathcal{F}^{0i}F^0_{\,\,i}-\mathcal{L}\\ &=&E^i E_i-\mathcal{L}\\ &=&{E}^2-\mathcal{L} \end{eqnarray} }

「ところで、ラグランジアン密度\mathcal{L}は、次のように表せたことを思い出してください」


{ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\,\,\,\,\,\, \textrm{ここで}\,\,\, F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu. \end{eqnarray} }

「そこで、F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}の添字 \muを \mu=0および \mu=i(i\neq 0)に展開してみます」


{ \displaystyle \begin{eqnarray} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}&=&F_{0\nu}F^{0\nu}+F_{i\nu}F^{i\nu} \end{eqnarray} }

「次に、添字 \nuを \nu=0および \nu=j(j\neq 0)に展開します」


{ \displaystyle \begin{eqnarray} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}&=&F_{0\nu}F^{0\nu}+F_{i\nu}F^{i\nu}\\ &=&(F_{00}F^{00}+F_{0j}F^{0j})+(F_{i0}F^{i0}+F_{ij}F^{ij})\\ &=&(F_{0j}F^{0j}+F_{i0}F^{i0})+F_{ij}F^{ij}\\ \end{eqnarray} }

「上式２行目から３行目への変形において、F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\muからF_{00}=\partial_0 A_0-\partial_0 A_0=0の関係を用いました。また、-\mathcal{F}^{\alpha\beta}=\mathcal{F}^{\beta\alpha}の関係を用いた後に、 E^i=-F^{0i}（または、 E_i=F_{0i}）および \epsilon^{ijk}B^k=F^{ji}（または、 \epsilon_{ijk}B_k=F_{ji}）の関係を代入すると、上の式は次のようになります」


{ \displaystyle \begin{eqnarray} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} &=&(F_{0j}F^{0j}+F_{i0}F^{i0})+F_{ij}F^{ij}\\ &=&(F_{0j}F^{0j}+F_{0i}F^{0i})+F_{ji}F^{ji}\\ &=&-2E_iE^i+(\epsilon_{ijk}B_k)(\epsilon^{ijl}B^l)\\ &=&-2E^2+(\epsilon_{ijk}\epsilon^{ijl})B_kB^l\\ \end{eqnarray} }

エネルギー・運動量テンソルの式から電磁気エネルギーの式の導出

「最後に、エネルギー・運動量テンソルの式から電磁気エネルギーの標準式を導いてみます」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{\mu\nu} &=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}F^\nu_{\,\,\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu} \end{eqnarray} }

「ここで、エネルギー・運動量テンソルのうち、時間変換に関係した保存チャージ T^{00}は、ハミルトニアン \mathcal{H}、すなわちエネルギーとなることを思い出してください」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} H=\int T^{00}d^3x=\int \mathcal{H}d^3 x. \end{eqnarray} }
(2.18)

「そこで、 \mu=\nu=0として、エネルギー・運動量テンソルを計算してみます」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{00} &=&\mathcal{F}^{\lambda0}F^0_{\,\,\lambda}-\mathcal{L}\delta^{00}\\ &=&\mathcal{F}^{i0}F^0_{\,\,i}-\mathcal{L}\\ &=&-\mathcal{F}^{0i}F^0_{\,\,i}-\mathcal{L}\\ \end{eqnarray} }

「ここで、 \delta^{00}=1および-\mathcal{F}^{\alpha\beta}=\mathcal{F}^{\beta\alpha}の関係を用いました。さらに、 E^i=-F^{0i}（または、 E_i=F^{0}_{\,\, i}）の関係を用いると、次のようになります」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{00} &=&-\mathcal{F}^{0i}F^0_{\,\,i}-\mathcal{L}\\ &=&E^i E_i-\mathcal{L}\\ &=&{E}^2-\mathcal{L} \end{eqnarray} }

「最後の式変形において、４元ベクトルの内積の定義 A\cdot B=A^\mu B_\muを用いました。この内積の定義を用いると、 A^2は次のように書くことができます」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} A^2=A\cdot A=A^\mu A_\mu \end{eqnarray} }

エネルギー・運動量テンソルを対称的にする方法3

{ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{\mu\nu} &=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}F^\nu_{\,\,\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu} \end{eqnarray} }

「上のエネルギー・運動量テンソルの式において、添字\mu, \nuを入れ替えた式が対称的となっているか調べてみましょう」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{\nu\mu}&=&\mathcal{F}^{\lambda\nu}F^\mu_{\,\,\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\nu\mu}\\ &=&(-\mathcal{F}^{\nu\lambda})(-F^{\,\,\mu}_\lambda)-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\ &=&\mathcal{F}^{\nu\lambda}F^{\,\,\mu}_\lambda-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\ &=&F^{\,\,\mu}_\lambda\mathcal{F}^{\nu\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu} \end{eqnarray} }

「ここで、-\mathcal{F}^{\alpha\beta}=\mathcal{F}^{\beta\alpha}および \delta^{\nu\mu}=\delta^{\mu\nu}の関係を用いました。次に、各項の添字\lambdaを上げ下げします。それには、各項に計量テンソル g_{\lambda\lambda}, g^{\lambda\lambda}をかけます」
「ちょっと、勝手に計量テンソルをかけてもいいの？」
　一宮が胡散臭そうな目で越野さんを見た。
「その点なら問題ありません。計量テンソル g^{ik}とg_{jk}は逆行列の関係にあり、次の関係が成り立ちます」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} g^{ik}g_{jk}=\delta^i_j \end{eqnarray} }

「ここで、\delta^i_jはクロネッカーのデルタで、 i=jのとき１、 i\neq jのとき０となる関数です。このとき、i=j=k=\lambdaとすれば、次の関係式を導くことができます」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} g^{\lambda\lambda}g_{\lambda\lambda}=\delta^\lambda_\lambda=1 \end{eqnarray} }

「したがって、式に 1=g^{\lambda\lambda}g_{\lambda\lambda}を自由にかけることができます。そこで、エネルギー・運動量テンソルの式の各項に計量テンソル g_{\lambda\lambda}, g^{\lambda\lambda}をかけて、各項の添字\lambdaを上げ下げすると、次のようになります」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{\nu\mu}&=&F^{\,\,\mu}_\lambda\mathcal{F}^{\nu\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\ &=&F^{\,\,\mu}_\lambda\mathcal{F}^{\nu\lambda}\times 1-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\ &=&F^{\,\,\mu}_\lambda\mathcal{F}^{\nu\lambda}\times g^{\lambda\lambda}g_{\lambda\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\ &=&(F^{\,\,\mu}_\lambda g^{\lambda\lambda})(\mathcal{F}^{\nu\lambda}g_{\lambda\lambda})-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\ &=&F^{\lambda\mu}\mathcal{F}^\nu_{\,\,\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu} \end{eqnarray} }

「これは添字\mu,\nuを入れ替える前の \hat{T}^{\mu\nu}の式と同じ形をしています。したがって、エネルギー・運動量テンソル \hat{T}^{\mu\nu}が対称的であることがわかりました」

エネルギー・運動量テンソルを対称的にする方法2

{ \displaystyle \begin{eqnarray} T^{\mu\nu}&=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}\partial^\nu A_\lambda-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}. \end{eqnarray} }

{ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{\mu\nu}=T^{\mu\nu}+\partial_\lambda K^{\lambda\mu\nu} \end{eqnarray} }

「次に、上のようにエネルギー・運動量テンソルT^{\mu\nu}に\partial_\lambda K^{\lambda\mu\nu}を加えて定義しなおした\hat{T}^{\mu\nu}は、 K^{\lambda\mu\nu}=F^{\mu\lambda}A^{\nu}としたとき、対称的なエネルギー・運動量テンソルTを生じ、電磁気のエネルギーおよび運動量密度の標準形式を生じることを示したいと思います」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{\mu\nu}&=&T^{\mu\nu}+\partial_\lambda K^{\lambda\mu\nu}\\ &=&T^{\mu\nu}+\partial_\lambda (F^{\mu\lambda}A^{\nu})\\ &=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}\partial^\nu A_\lambda-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}+\partial_\lambda (F^{\mu\lambda}A^{\nu}) \end{eqnarray} }

「ここで、第２項\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}は添字\mu, \nuに対して明らかに対称的なので、残りの項の対称性について考えてみます。まず、積の微分法則\partial(uv)=u\partial(v)+v\partial(u)を用いて、第３項を展開してみます」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\lambda (F^{\mu\lambda}A^{\nu})=\partial_\lambda (F^{\mu\lambda})A^{\nu}+F^{\mu\lambda}\partial_\lambda (A^{\nu}) \end{eqnarray} }

「上式の右辺第１項の \partial_\lambda (F^{\mu\lambda})は、前回の問題2.1で導いた式\partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha\beta}=0^\betaと-\mathcal{F}^{\alpha\beta}=\mathcal{F}^{\beta\alpha}の関係からゼロになることがわかります」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\alpha\mathcal{F}^{\alpha\beta}&=&0^\beta\rightarrow-\partial_\alpha\mathcal{F}^{\beta\alpha}&=&0^\beta\rightarrow \partial_\lambda (F^{\mu\lambda})=0^\beta(\alpha\rightarrow\lambda, \beta\rightarrow\mu) \end{eqnarray} }

「したがって、 \hat{T}^{\mu\nu}の式は、次のようになります」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{\mu\nu}&=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}\partial^\nu A_\lambda+F^{\mu\lambda}\partial_\lambda A^{\nu}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\ &=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}\partial^\nu A_\lambda-F^{\lambda\mu}\partial_\lambda A^{\nu}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\ &=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}(\partial^\nu A_\lambda-\partial_\lambda A^{\nu})-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}\\ &=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}F^\nu_{\,\,\lambda}-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu} \end{eqnarray} }

「最後の行への変形において、F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\muの定義の \muの添字を上げた式F^\mu_{\,\,\nu}=\partial^\mu A_\nu-\partial_\nu A^\muを用いました」

エネルギー・運動量テンソルを対称的にする方法

{ \displaystyle \begin{eqnarray} T^\mu_{\,\,\,\nu}&=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}\partial_\nu A_\lambda-\mathcal{L}\delta^\mu_\nu. \end{eqnarray} }

「次に、計量テンソルg^{\nu\nu}を用いて、エネルギー・運動量テンソルT_\nu^\muの添字\nuを上付きにします」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} T^\mu_{\,\,\,\nu}g^{\nu\nu}&=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}\partial_\nu A_\lambda g^{\nu\nu}-\mathcal{L}\delta^\mu_\nu g^{\nu\nu}\\ T^{\mu\nu}&=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}\partial^\nu A_\lambda-\mathcal{L}\delta^{\mu\nu}. \end{eqnarray} }

「ここで問題なのは、通常の手続きでは、対称テンソルを導くことができないという点です。実際、上のエネルギー・運動量テンソルT_\nu^\muは、添字\mu, \nuの入れ替えに対して対称的ではありません」
「どうしてテンソルが対称じゃないとダメなのよ？」
　一宮が訊ねた。
「これは、下の一般相対性理論の基本方程式において、エネルギー・運動量テンソルT_{\mu\nu}が対称だからです」

一般相対性理論の基本方程式
{ \displaystyle \begin{eqnarray} G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu} \end{eqnarray} }

「このエネルギー・運動量テンソルが対称テンソルでないという問題を解決すべく、テキストでは \partial_\lambda K^{\lambda\mu\nu}の形で K^{\lambda\mu\nu}の項を加えることを提案しています。ここで、 K^{\lambda\mu\nu}の項は、最初の２つの添字において反対称（すなわち、 K^{\lambda\mu\nu}=-K^{\mu\lambda\nu}）です。このようなものは自動的に発散がなくなり、 \hat{T}^{\mu\nu}=T^{\mu\nu}+\partial_\lambda K^{\lambda\mu\nu}は、同じく全体的にエネルギーと運動量が保存された等しく良好なエネルギー・運動量テンソルになるといっています」
「どうして発散がなくなるのよ？」
　一宮が首を傾げた。
「実際、\partial_\mu\partial_\lambda K^{\lambda\mu\nu}の添字\lambda, \muを入れ替えた式は、 K^{\lambda\mu\nu}の添字\lambda, \muについての反対称性から\partial_\lambda\partial_\mu K^{\mu\lambda\nu}=-\partial_\mu\partial_\lambda K^{\lambda\mu\nu}となります。それゆえ、全ての添字\lambda, \muについての和をとると、添字\lambda, \muを入れ替える前の式と入れ替えた後の式とがちょうどプラスマイナスになって打ち消し合うため、\Sigma_{\mu, \lambda}\partial_\mu\partial_\lambda K^{\lambda\mu\nu}=0のように発散がゼロになるのです」

クライン‐ゴルドン粒子のエネルギー・運動量テンソル

問題2.1b

「次に、問題2.1bを解いてみます。問題2.1bは、クライン‐ゴルドン理論のためのエネルギー・運動量テンソルを構築しろとのことです。そこで、以前導いたエネルギー・運動量テンソルの式を見てみましょう」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} T^\mu_{\,\,\,\nu}&\equiv&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\nu\phi-\mathcal{L}\delta^\mu_\nu. \end{eqnarray} }
(2.17)

「ここで、オイラー・ラグランジュ方程式を解いたときと同様に、場 \phiの代わりに要素 A_\lambda(x)を力学変数として扱うことにします」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} T^\mu_{\,\,\,\nu}&\equiv&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\lambda)}\partial_\nu A_\lambda-\mathcal{L}\delta^\mu_\nu. \end{eqnarray} }

「また、上式右辺第１項目の微分は、以前導いた結果を利用します」


{ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\,\,\,\,\,\, \textrm{ここで}\,\,\, F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu. \end{eqnarray} }

{ \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\lambda)} &=&-\mathcal{F}^{\mu\lambda}=\mathcal{F}^{\lambda\mu} \end{eqnarray} }

「これを代入すると、エネルギー・運動量テンソルは次のようになります」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} T^\mu_{\,\,\,\nu}&=&\mathcal{F}^{\lambda\mu}\partial_\nu A_\lambda-\mathcal{L}\delta^\mu_\nu. \end{eqnarray} }