スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

エネルギー・運動量テンソルの式から電磁気エネルギーの式の導出3


{ \displaystyle \begin{eqnarray} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} &=&-2E^2+(\epsilon_{ijk}\epsilon^{ijl})B_kB^l\\ \end{eqnarray} }

「次に、レヴィ=チヴィタ記号 \epsilon_{ijk}の積には、次のような性質があることが知られています」


{ \displaystyle \begin{eqnarray} \Sigma_{ij}\epsilon_{ijk}\epsilon^{ijl}=2\delta_{k}^{\,\,l}\\ \end{eqnarray} }

「この性質を用いると、最初の式は次のようになります」


{ \displaystyle \begin{eqnarray} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} &=&-2E^2+(\epsilon_{ijk}\epsilon^{ijl})B_kB^l\\ &=&-2E^2+2\delta_{k}^{\,\,l}B_kB^l\\ &=&-2E^2+2B^2\\ &=&-2(E^2-B^2)\\ \end{eqnarray} }

「それゆえ、ラグランジアン密度 \mathcal{L}は、次のようになります」


{ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}&=&-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\\ &=&\frac{1}{2}(E^2-B^2) \end{eqnarray} }

「このラグランジアン密度 \mathcal{L}をエネルギー・運動量テンソル \hat{T}^{00}の式に代入すると、次のようになります」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{00} &=&{E}^2-\mathcal{L}\\ &=&{E}^2-\frac{1}{2}(E^2-B^2)\\ &=&\frac{1}{2}(E^2+B^2) \end{eqnarray} }

「エネルギー・運動量テンソルのうち、時間変換に関係した保存チャージ T^{00}は、ハミルトニアン \mathcal{H}、すなわちエネルギー密度なので、結局、電磁気エネルギー密度の式\varepsilonが導かれます」

{ \displaystyle \begin{eqnarray} \hat{T}^{00}&=&\varepsilon=\frac{1}{2}(E^2+B^2) \end{eqnarray} }