複素共役とは - スーパーサイエンスガール

$\langle\gamma\mid H_I\mid \mu^+\mu^-\rangle_\mu\propto e(0, \cos{\theta}, i, -\sin{\theta})$ (1.5)

「次に、(1.5)式の複素共役（ふくそきょうやく）をとると、次のようになる」

$\langle\mu^+\mu^- \mid H_I\mid\gamma\rangle^\mu\propto e(0, \cos{\theta}, -i, -\sin{\theta})$

「複素共役？」
「複素共役とは、複素数 $a+bi$ に対して、その虚部 $bi$ の符号を入れ替えた複素数 $a-bi$ を求めること。もとの複素数を $\alpha$ とすれば、その複素共役は $\alpha^\ast$ で表す」
「どうして複素共役をとる必要があるのよ」
「関数 $\phi^\ast(q)$ を関数 $\phi(q)$ の複素共役であるとすると、 $\langle f \mid A \mid i\rangle$ は次のようにかける」

$\langle f \mid A \mid i\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}{\phi_f^\ast(q)\hat{A}\phi_i(q)dq}$

「また、演算子 $\hat{A}$ をエルミート演算子（観測される物理量が、複素数でなく実数であることを保証する演算子）として、 $\hat{A}\phi(q)=\{\phi^\ast(q)\hat{A}^\dagger\}^\ast$ および $\hat{A}=\hat{A}^\dagger$ の関係が成り立つことを用いると、ブラケットの左右を入れ替えた $\langle i \mid A \mid f\rangle$ は次のようにかける」

$\begin{eqnarray} \langle i \mid A \mid f\rangle &=&\int_{-\infty}^{\infty}{\phi_i^\ast(q)\hat{A}\phi_f(q)dq}\\ &=&\int_{-\infty}^{\infty}{\phi_i^\ast(q)(\hat{A}\phi_f(q))dq}\\ &=&\int_{-\infty}^{\infty}\{(\phi_f^\ast(q) \hat{A}^\dagger)\phi_i(q)\}^\ast dq\\ &=&\langle f \mid A \mid i\rangle^\ast \end{eqnarray}$