共役運動量とは - スーパーサイエンスガール

「ラグランジュ形式の場の理論についてお話した後は、ハミルトン形式の場の理論についてお話します。ラグランジュ形式の場の理論は、全ての式があらわにローレンツ不変であるため、特に相対論的力学に適していますが、このテキストでは、第１部を通してハミルトン形式の場の理論を用います。というのも、ハミルトン形式の場の理論によって、量子力学への移行が簡単になるからです。ここで、それぞれの力学的変数qの共役（きょうやく）運動量が $p\equiv\partial L\backslash\partial\dot{q}$ （ここで、 $\dot{q}=dq\backslash dt$ ）で表されることを思い出してください」

「共役運動量？　そんなの知らないわよ」
　一宮のぶっきらぼうな言葉に、越野さんは一瞬戸惑った。
「ちょっと共役運動量について、３分で分かりやすく説明してくれない？」
　一宮は乱暴に足を組みながら、ワンマン社長が平社員に説明を求めるような、思いっきり上から目線の口調で越野さんに命令した。
「そんな……３分だなんて……」
　越野さんはおろおろと一宮の顔を見返した。どうしてそこまで上から目線になれるんだ、お前は？　ただの女子高生だろ？

　越野さんはしばらく考え込み、やがて説明を始めた。
「ラグランジアンLは、（運動エネルギー）−（ポテンシャルエネルギー）という話は、以前しましたよね。例えば、３次元の直交座標の場合、ラグランジアンLは、次のように書くことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} L&=&\frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-V(x, y, z)\\ &&（運動エネルギー）−（ポテンシャルエネルギー）\\ (\dot{x}&=&v_x, \dot{y}=v_y, \dot{z}=v_z) \end{eqnarray} }$

「ここで、ラグランジアン $L$ を $\dot{x}$ で偏微分すると、 $\frac{\partial{L}}{\partial\dot{x}}=m\dot{x}=mv_x$ となって、x方向の運動量に等しいことがわかります。そこでこれを拡張し、一般化座標qについて、ラグランジアン $L$ を $\dot{x}$ で偏微分したものを運動量と定義することにします。このように定義された運動量を『一般化運動量』と呼びます」

一般化運動量
${ \displaystyle \begin{eqnarray} p_i&=&\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\,\,\,\bigg(\dot{q}_i=\frac{dq_i}{dt}\bigg) \end{eqnarray} }$

「上の式を見てください。一般化運動量 $p_i$ は、ラグランジアンLを介して一般化座標 $q_i$ と対になった量と考えることもできます。そのため、一般化運動量は、『共役運動量（conjugate momentum）』とも呼ばれます」
「『共役』って何よ？」
「『共役』とは、一般に『互いに結びついた２つのもの」という意味があります」