運動量密度とは - スーパーサイエンスガール

「一般化運動量 $q$ は、ラグランジアンLを用いて、次のように定義されました」

一般化運動量（または共役運動量）
${ \displaystyle \begin{eqnarray} p_i&=&\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \end{eqnarray} }$

「一方、場 $\varphi(\bf{x})$ で表したとき、一般化運動量pは、ラグランジアン $\mathcal{L}$ を用いて、次のように定義することができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} p(\bf{x})&\equiv&\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}(\bf{x})} \end{eqnarray} }$

「これは、一般化座標 $q_i$ が単に、場 $\varphi(\bf{x})$ に置き換わっただけです。この式を計算してみると、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} p({\bf{x}})&\equiv&\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}({\bf{x}})}=\frac{\partial }{\partial \dot{\phi}({\bf{x}})}\int\mathcal{L} (\phi({\bf{y}}), \dot{\phi}({\bf{y}}))d^3y\\ &\sim&\frac{\partial }{\partial \dot{\phi}(\bf{x})}\sum_{{\bf{y}}}\mathcal{L}(\phi({\bf{y}}), \dot{\phi}({\bf{y}}))d^3y\\ &=&\pi({\bf{x}})d^3x\\ \bigg(\pi({\bf{x}})&\equiv&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}({\bf{x}})}\bigg) \end{eqnarray} }$
(2.4)

「１行目から２行目の変形では、変数yについての連続的な積分を、離散的な和で近似しています。ここで、(2.4)式の $\pi({\bf{x}})=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}({\bf{x}})}$ は、 $\varphi{(\bf{x})}$ に共役な運動量密度（momentum density）と呼ばれる量です」

$\varphi{(\bf{x})}$ に共役な運動量密度（momentum density）
${ \displaystyle \begin{eqnarray} \pi({\bf{x}})&\equiv&\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}({\bf{x}})} \end{eqnarray} }$

「なんで３行目から $d^3y$ が $d^3x$ に変わっているのよ？」
　一宮が訊ねる。
「前にも説明したように、ラグランジアン密度 $\mathcal{L}$ は、空間に満ちた場 $\varphi(\bf{y})$ の関数であるため、空間全体に広がっています。そして空間全体に満ちた場のうち、一部の場 $\varphi(\bf{x})$ が時間的に変動すると、その変動 $\dot{\varphi}(\bf{x})$ が運動量 $p(\bf{x})$ として観測されます」
「それと、 $d^3y$ と何の関係があるのよ？」
「先ほどのゲーム画像の例でいえば、ディスプレイの画素が存在する範囲が、 $d^3y$ の範囲となります。つまり、 $y$ はディスプレイ全体の画素の位置を指定するものです。そして、それぞれの画素について和 $\Sigma_{\bf{y}}$ をとっています。一方、一部の画素の色情報が時間的に変化することにより、下図のように、エネルギー弾が連続的に運動しているように見えます」

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「このエネルギー弾を構成する画素の位置が $x$ に相当し、エネルギー弾の広がりの範囲が $d^3x$ に相当するのです。上の(2.4)式の２行目から３行目への変形は、空間全体の広がりの範囲 $d^3y$ に存在する場のうち、運動量に寄与する $d^3x$ の範囲だけを取り出すことに相当します。これを数学的に表現すると、次のように、 $\bf{x}$ と $\bf{y}$ が等しい場合に1となり、その他の場合は0となる、デルタ関数 $\delta({\bf{x}}-{\bf{y}})$ を入力する操作に相当します」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \sum_{{\bf{y}}}\delta({\bf{x}}-{\bf{y}})\mathcal{L}(\phi({\bf{y}}), \dot{\phi}({\bf{y}}))d^3y &=&\mathcal{L}(\phi({\bf{x}}), \dot{\phi}({\bf{x}}))d^3x\\ \end{eqnarray} }$