正準運動量密度の導出 - スーパーサイエンスガール

「クライン−ゴルダン方程式は、量子力学的な波動方程式ではなく、古典的な波動の振る舞いをあらわすマクスウェル方程式と同様に『古典的』な場の方程式です。ところで以前、場 $\varphi(x)$ に共役な正準運動量密度 $\pi(\bf{x})$ は、次のように定義されることをお話しました」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \pi(\bf{x})&\equiv&\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}(\bf{x})} \end{eqnarray} }$

「一方、ラグランジアン $\mathcal{L}$ は、次のように書けます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}&=&\frac{1}{2}\dot{\phi}^2-\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2 \end{eqnarray} }$

「このラグランジアン $\mathcal{L}$ を $\pi(\bf{x})$ に代入すると、 $\pi(x)=\dot{\phi}(x)$ となります」

「ねえ、ちょっと変じゃない？」
「何がおかしいのですか？」
　一宮は、ほとんどテキストの頁に顔を押しつけるようにして、テキストを凝視していた。
「この行を見てよ！」

超絶難解な某テキストから一部抜粋

　一宮の意図が分からず、俺たちは皆、ぽかんと一宮を見つめていた。
「だから、何が言いたいんだお前は？」
「まだ分からないの？　あんたって、ほんと目が悪いのね」
「目が悪くて悪かったな！」
「しょうがないわね……。それじゃよく見て！　この式の部分を思い切り拡大すると、こんな風になるわ！」
　そういって、一宮は両手を伸ばし、俺の顔に押しつけるように思いっきりテキストを近づけてきた。

「ほら！　よく見て！　『運動量密度』を表すのに、どこにも時間微分を表すドット（ $\cdot$ ）が $\phi$ の上に書いてないじゃないの！　これは立派な間違いよ！」
　一宮は、勝ち誇ったように胸を張った。
「それは多分、誤植だと思いますけど……」
　越野さんは、どう対処したらよいか分からないような、戸惑った顔をしていた。

　お前という奴は、他人の『揚げ足とり』になると、ほんとうに無駄なまでに勘が働くな……。その能力をもう少し建設的な方向に使えないのか？