テイラー展開の直観的なイメージ - スーパーサイエンスガール

「教科書みたいな天下りの説明はもうたくさんだわ！　そもそもどうして、テイラー展開やマクローリン展開みたいな関係が成り立つのよ？」

テイラー展開（Taylor expansion）
${ \displaystyle \begin{eqnarray} f(x)&=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-a)^n}{n!}f^{(n)}(a)\\ &=&f(a)+f^{(1)}(a)(x-a)+\frac{1}{2!}f^{(2)}(a)(x-a)^2+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n+\cdots \end{eqnarray} }$

マクローリン展開（Maclaurin expansion）
${ \displaystyle \begin{eqnarray} f(x)&=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}f^{(n)}(0)\\ &=&f(0)+f^{(1)}(0)(x)+\frac{1}{2!}f^{(2)}(0)(x)^2+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)(x)^n+\cdots \end{eqnarray} }$

「それは難しい質問ですね……」
　一宮の質問に、越野さんはしばし考え込んだ。
「テイラー展開とマクローリン展開の違いは、 $x=a$ を起点としているか、 $x=0$ を起点としているかの違いにすぎません。両者は基本的には同じものなので、ここではより単純なマクローリン展開について説明します。ここで、車でドライブする場面を想定してみてください」
「車でドライブ？　いきなり何の話よ？」
　一宮は首を傾げた。
「この車は、時刻 $t=0$ （秒）にスタート地点を出発し、時刻 $t$ （秒）には距離 $f(t)$ （ｍ）だけ走るものとします。ここで、微小時間 $\delta t$ だけ経過したとき、車がスタート地点からどれだけの距離を進んだかを調べてみます。このとき、距離 $f(t)$ は、次のようにマクローリン展開することができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} f(\delta t)&=&f(0)+f^{(1)}(0)\delta t+\frac{1}{2!}f^{(2)}(0)\delta t^2+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(0)\delta t^n+\cdots \end{eqnarray} }$

「ここで、右辺の第１項 $f(0)$ は、車が進む距離 $f(t)$ にスタート時の時刻 $t=0$ を代入したときの値なので、スタート時の車の位置を表します」

右辺第１項 $f(0)$ の意味：スタート時の車の位置

「それじゃ、右辺の第２項はどういう意味よ？」
「右辺の第２項は $f^{(1)}(0)\delta t$ ですが、 $f^{(1)}(t)$ は、車が進む距離 $f(t)$ の１階の時間微分、すなわち、車が進む速度を意味します。ここで、（速度）×（時間）＝（距離）の関係が成り立つことに注目すると、右辺の第２項は、スタート時（t=0）の車の速度 $f^{(1)}(0)$ で微小時間 $\delta t$ だけ進んだとき、車が進む距離を表します」

右辺第２項 $f^{(1)}(0)\delta t$ の意味：
スタート時（t=0）の車の速度 $f^{(1)}(0)$ で微小時間 $\delta t$ だけ進んだとき、車が進む距離

「つまり、右辺の第２項は、スタート時（t=0）に車が毎秒V（m）の速さで走っていたとすると、微小時間 $\delta t$ （秒）後には、車がスタート地点から $V\delta t$ （m）の地点にいるだろうという、『スタート時の車の速度から見積もった車が進む距離』を表します」
「待ってよ！　それっておかしくない？　仮に、 $\delta t=1$ 秒であるとして、１秒後も車がスタート時（t=0）と同じ速度V[m/s]で走っているなんて保証、どこにもないじゃないの！　１秒後に車が毎秒V（ｍ）から毎秒100V（ｍ）まで急加速していたら、全然違った結果になるんじゃないの？」

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　一宮の疑問に越野さんは頷いた。
「そうならないようにするために、右辺の第３項では、加速度も考慮に入れます。ここで、第３項の $f^{(2)}(0)$ は、スタート時の車の速度の時間変化、すなわち、車の加速度を表します。第３項には、 $\delta t$ の２乗の項がかかっていますが、これは、（加速度）×（時間） $^2$ ＝（距離）の関係からもわかるように、加速度を距離に置き換えているからです。つまり、右辺の第３項は、スタート時（t=0）の車の加速度 $f^{(2)}(0)\delta$ で微小時間 $\delta t$ だけ進んだとき、車が進む距離の変化分を表します」

右辺第３項 $\frac{1}{2!}f^{(2)}(0)\delta t^2$ の意味：
スタート時（t=0）の車の加速度 $f^{(2)}(0)\delta$ で微小時間 $\delta t$ だけ進んだとき、車が進む距離の変化分

「右辺の第３項は、『スタート時の車の加速度から見積もった車が進む距離の変化分』を表します。それゆえ、スタート時（t=0）から車が加速したとしても、第３項まで考慮することによって、車が進む正確な距離を予測することができるというわけです」
　一宮は、きつねにつままれたような顔をしていた。
「それじゃ、スタート時（t=0）で車が急加速した直後に、車が急停止したらどうするのよ？」
「その場合は、加速度が変化する場合に当たりますよね。加速度が変化する場合は、右辺の第４項 $\frac{1}{3!}f^{(3)}(0)\delta t^3$ に相当します。右辺の第４項は、スタート時（t=0）の車の加速度の変化 $f^{(3)}(0)$ で微小時間 $\delta t$ だけ進んだとき、車が進む距離の変化分を表します」

右辺第４項 $\frac{1}{3!}f^{(3)}(0)\delta t^3$ の意味：
スタート時の車の加速度の変化 $f^{(3)}(0)\delta$ で微小時間 $\delta t$ だけ進んだとき、車が進む距離の変化分

「このように、スタート時（t=0）の車の速度だけでなく、スタート時の車の加速度、車の加速度の変化、車の加速度の変化の変化、……といった、高次の変化の寄与を無限に考慮することによって、スタート地点から微小時間 $\delta t$ 後に車が進む距離を正確に予測することができます。これを任意の関数 $f(x)$ の場合に一般化したのが、マクローリン展開であり、テイラー展開なのです。以上が、テイラー展開の直観的なイメージです」