クライン‐ゴルドン場の時間依存性 - スーパーサイエンスガール

${ \displaystyle \begin{eqnarray} i\frac{\partial}{\partial t}\mathcal{O}=[\mathcal{O}, H]. \end{eqnarray} }$
(2.44)

「Heisenbergの運動方程式に(2.8)式のハミルトニアンHを代入すると、 $\phi$ および $\pi$ の時間依存性を計算することができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H&=&\int d^3x\mathcal{H}=\int d^3x\bigg[\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2\bigg]. \end{eqnarray} }$
(2.8)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} i\frac{\partial}{\partial t}\phi({\bf{x}},t) &=&\bigg[\phi({\bf{x}},t), H\bigg]\\ &=&\bigg[\phi({\bf{x}},t), \int d^3 x’\bigg\{\frac{1}{2}\pi^2({\bf{x}’},t)+\frac{1}{2}(\nabla\phi({\bf{x}’},t))^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2({\bf{x}’},t)\bigg\}\bigg] \end{eqnarray} }$

「ここで、上式の右辺の交換子の右側の第３項に着目すると、 $[\phi({\bf{x}},t), \phi^2({\bf{x}'},t)]$ の形を持ちますが、交換子の公式 $[A, BC]=B[A, C]+[A, B]C$ および(2.20)式から、次のように0となります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]&=&i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}});\\ [\phi({\bf{x}}), \phi({\bf{y}})]&=&[\pi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]=0. \end{eqnarray} }$
(2.20)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [\phi({\bf{x}},t), \phi^2({\bf{x}'},t)]&=&\phi({\bf{x}'},t)[\phi({\bf{x}},t), \phi({\bf{x}'},t)]+[\phi({\bf{x}},t), \phi({\bf{x}'},t)]\phi({\bf{x}'},t)=0 \end{eqnarray} }$

「また、上式の右辺の交換子の右側の第２項に着目すると、(2.27)式より、 $\phi({\bf{x}},t)$ がxについて $e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}$ の依存性を有することから、 $\nabla\phi({\bf{x}},t)=i{\bf{p}}\phi({\bf{x}},t)$ となって、 $\phi({\bf{x}},t)$ が残ります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big) e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}; \end{eqnarray} }$
(2.27)

「それゆえ、右辺第２項も、 $[\phi({\bf{x}},t), \phi^2({\bf{x}'},t)]$ の形を持つので、右辺第３項と同様にゼロになります」

「また、(2.30)式の交換関係 $[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{x}'})]$ を用いて、上式の第１項を計算することができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{x}'})]&=&\int\frac{d^3pd^3p'}{(2\pi)^6}\frac{-i}{2}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}'}}{\omega_{\bf{p}}}} \big([a_{-\bf{p}}^{\dagger}, a_{\bf{p}'}]-[a_{\bf{p}}, a_{-\bf{p}'}^{\dagger}] \big)e^{i{(\bf{p}\cdot\bf{x}+\bf{p'}\cdot\bf{x}')}} \end{eqnarray} }$

「ここで、交換子の公式 $[A, BC]=B[A, C]+[A, B]C$ から次の式がなりたちます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [\phi({\bf{x}},t),\pi^2({\bf{x}'},t)] &=&\pi({\bf{x}'},t)[\phi({\bf{x}},t),\pi({\bf{x}'},t)]+[\phi({\bf{x}},t),\pi({\bf{x}'},t)]\pi({\bf{x}'},t)\\ &=&2[\phi({\bf{x}},t),\pi({\bf{x}'},t)] \pi({\bf{x}'},t) \end{eqnarray} }$

「したがって、クライン‐ゴルドン場 $\phi$ の時間依存性は、以下のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} i\frac{\partial}{\partial t}\phi({\bf{x}},t) &=&\bigg[\phi({\bf{x}},t), H\bigg]\\ &=&\bigg[\phi({\bf{x}},t), \int d^3 x’\bigg\{\frac{1}{2}\pi^2({\bf{x}’},t)+\frac{1}{2}(\nabla\phi({\bf{x}’},t))^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2({\bf{x}’},t)\bigg\}\bigg]\\ &=&\bigg[\phi({\bf{x}},t), \int d^3 x’ \frac{1}{2}\pi^2({\bf{x}’},t) \bigg]\\ &=&\int d^3 x’\bigg[\phi({\bf{x}},t), \pi({\bf{x}’},t) \bigg]\pi({\bf{x}’},t)\\ &=&\int d^3 x’i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{x}’}) \pi({\bf{x}’},t)\\ &=&i\pi({\bf{x}},t) \end{eqnarray} }$