複素スカラー場の作用とラグランジアン - スーパーサイエンスガール

問題2.2
「問題2.1を解いたので、次は問題2.2を解きましょう。問題2.2では、クライン‐ゴルドン場に従う複素数値のスカラー場の場の理論について考えてみます。この理論の作用は、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} S&=&\int d^4 (\partial_\mu\phi^*\partial^\mu\phi-m^2\phi^*\phi). \end{eqnarray} }$

「基本的な力学変数として、場 $\phi(x)$ の実数部分と虚数部分を考えるより、２種類の場 $\phi(x)$ および $\phi^*(x)$ を考えることによって、この理論を分析すると一番簡単になります。問題aは次のとおりです」

問題a：
場 $\phi(x)$ および $\phi^*(x)$ の共役運動量および正準交換関係を導け。また、ハミルトニアンが、次のようになることを示せ。

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H&=&\int d^3x(\pi^*\pi+\nabla\phi^*\cdot\nabla\phi+m^2\phi^*\phi). \end{eqnarray} }$

場 $\phi(x)$ についてのHeisenbergの運動方程式を計算し、それがまさしくクライン‐ゴルドン方程式であることを示せ。