クライン−ゴルドン場の交換関係の導出 - スーパーサイエンスガール

「次に、(2.27)式および(2.28)式から、クライン−ゴルドン場の交換関係 $[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{x}})]$ を計算してみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big) e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}; \end{eqnarray} }$
(2.27)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \pi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}(-i)\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{2}}\big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}. \end{eqnarray} }$
(2.28)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} &&[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{x}'})]=\phi({\bf{x}})\pi({\bf{x}'})-\pi({\bf{x}'})\phi({\bf{x}})\\ &=&\int\frac{d^3pd^3p'}{(2\pi)^6}\frac{-i}{2}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}'}}{\omega_{\bf{p}}}} \big[\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)-\big(a_{\bf{p}'}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big) \big]e^{i{(\bf{p}\cdot\bf{x}+\bf{p'}\cdot\bf{x}')}} \end{eqnarray} }$

「ここで、右辺の角括弧（[ ]）の中を計算してみます。生成演算子と消滅演算子 $a_{\bf{p}}^{\dagger}, a_{\bf{p}}$ の順序を入れ替えることができないことに注意して式を変形していきます。一方、生成演算子 $a_{\bf{p}}^{\dagger}$ 同士と消滅演算子 $a_{\bf{p}}$ 同士は交換可能なので、生成演算子 $a_{\bf{p}}^{\dagger}$ 同士・消滅演算子 $a_{\bf{p}}$ 同士の積からなる項は消去できます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} &&\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)-\big(a_{\bf{p}'}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big) \\ &=&a_{\bf{p}}a_{\bf{p}'}-a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}-\big(a_{\bf{p}'}a_{\bf{p}}+a_{\bf{p}'}a_{-\bf{p}}^{\dagger}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\\ &=&-a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}-a_{\bf{p}'}a_{-\bf{p}}^{\dagger}+a_{-\bf{p}'}^{\dagger}a_{\bf{p}}\\ &=&\big(a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}'}-a_{\bf{p}'}a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)-\big(a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}'}^{\dagger}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}a_{\bf{p}}\big)\\ &=&[a_{-\bf{p}}^{\dagger}, a_{\bf{p}'}]-[a_{\bf{p}}, a_{-\bf{p}'}^{\dagger}] \end{eqnarray} }$

「したがって、交換関係 $[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{x}})]$ は、次のように書くことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{x}'})]&=&\int\frac{d^3pd^3p'}{(2\pi)^6}\frac{-i}{2}\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}'}}{\omega_{\bf{p}}}} \big([a_{-\bf{p}}^{\dagger}, a_{\bf{p}'}]-[a_{\bf{p}}, a_{-\bf{p}'}^{\dagger}] \big)e^{i{(\bf{p}\cdot\bf{x}+\bf{p'}\cdot\bf{x}')}} \end{eqnarray} }$