クライン−ゴルドン場のハミルトニアンの生成・消滅演算子による表現

「次に、クライン−ゴルドン場のハミルトニアンを生成・消滅演算子で表わしてみます。具体的な方針としては、(2.8)式のハミルトニアン $\mathcal{H}$ に、(2.27)および(2.28)式を代入します」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H&=&\int d^3x\mathcal{H}=\int d^3x\bigg[\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2\bigg]. \end{eqnarray} }$
(2.8)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big) e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}; \end{eqnarray} }$
(2.27)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \pi({\bf{x}})&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}(-i)\sqrt{\frac{\omega_{\bf{p}}}{2}}\big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}. \end{eqnarray} }$
(2.28)

「ここで、(2.8)式の右辺の第１項は、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\pi^2&=&\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\bigg\{-\frac{\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}{4} \big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\bigg\}. \end{eqnarray} }$

「ところで、 $\nabla\phi$ の勾配 $\nabla$ は、 $\nabla=\big(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\big)$ であり、 $x, y, z$ についての偏微分を含むため、 $e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}$ のみに作用します。そこで、 $\frac{\partial}{\partial x}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}$ を計算してみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}&=&\frac{\partial}{\partial x}\exp{i(p_xx+p_yy+p_zz)}=ip_x\exp{i(p_xx+p_yy+p_zz)}=ip_xe^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}} \end{eqnarray} }$

「y成分、z成分についても同様に計算でき、結局 $\nabla e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}=i(p_x, p_y, p_z)e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}=i{\bf{p}}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}$ となります。それゆえ、(2.8)式の右辺の第２項は、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2&=&\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\bigg\{\frac{-{\bf{p}}\cdot{\bf{p}}'}{4\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}} \big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}+a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\bigg\}. \end{eqnarray} }$

「また、(2.8)式の第３項も同様に計算できて、次のように書くことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{1}{2}m^2\phi^2&=&\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\bigg\{\frac{m^2}{4\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}} \big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}+a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\bigg\}. \end{eqnarray} }$

「以上から、(2.8)式のハミルトニアンは、次のようになることが分かります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{H}&=&\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\bigg\{-\frac{\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}{4} \big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\\ &+&\frac{-{\bf{p}}\cdot{\bf{p}}'+m^2}{4\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}} \big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}+a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\bigg\}. \end{eqnarray} }$