クライン−ゴルドン場のハミルトニアンの生成・消滅演算子による表現3

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{H}&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\bigg\{-\frac{\omega_{\bf{p}}}{4} \big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{-\bf{p}}-a_{\bf{p}}^{\dagger}\big)+\frac{\omega_{\bf{p}}}{4} \big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{-\bf{p}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}\big)\bigg\}\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\cdot\frac{\omega_{\bf{p}}}{4}\bigg\{\big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}}^{\dagger}-a_{-\bf{p}}\big)+ \big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\bigg\}\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\cdot\frac{\omega_{\bf{p}}}{4}\big(a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}-a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}}^{\dagger}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}}+a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}+a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}}^{\dagger}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}}^{\dagger} \big) \end{eqnarray} }$

「ここで、 $\int d^{(3)}p a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}}=\int d^{(3)}pa_{\bf{p}}a_{\bf{p}}, \int d^{(3)}pa_{-\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}^\dagger=\int d^{(3)}pa_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}^\dagger$ などの関係が成り立つものと仮定すると、クライン−ゴルドン場のハミルトニアン $\mathcal{H}$ は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{H}&=& \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\cdot\frac{\omega_{\bf{p}}}{4}\big(a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}-a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}-a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}}^{\dagger}+a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}}+a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}+a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}+a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}}^{\dagger}\big)\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\cdot\frac{\omega_{\bf{p}}}{2}\big(a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}+a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}}\big) \end{eqnarray} }$

「また、交換関係 $[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}}^\dagger]=a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^\dagger-a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}$ から、上式に $a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^\dagger=a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}+[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}}^\dagger]$ を代入すると、上式は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{H}&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\cdot\frac{\omega_{\bf{p}}}{2}\big(a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}+a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}}\big)\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\cdot\frac{\omega_{\bf{p}}}{2}\big(2a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}+[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}}^\dagger]\big)\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\omega_{\bf{p}}\bigg(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}+\frac{1}{2}[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}}^\dagger]\bigg). \end{eqnarray} }$

「したがって、(2.8)式のハミルトニアンは結局、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{H}&=&\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\bigg\{-\frac{\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}{4} \big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\\ &+&\frac{-{\bf{p}}\cdot{\bf{p}}'+m^2}{4\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}} \big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}+a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\bigg\}\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\omega_{\bf{p}}\bigg(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}+\frac{1}{2}[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}}^\dagger]\bigg). \end{eqnarray} }$
(2.31)