クライン‐ゴルドン場の交換関係の導出２ - スーパーサイエンスガール

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \big[\phi(x), \phi(y)\big]=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}&\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}& \int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\ &\times&\bigg\{\big[ a_{\bf{p}}, a_{\bf{q}}^\dagger \big] e^{-ip\cdot x} e^{iq\cdot y}+\big[ a_{\bf{p}}^\dagger, a_{\bf{q}}\big] e^{ip\cdot x}e^{-iq\cdot y}\bigg\}\\ \end{eqnarray} }$

「次に、生成・消滅演算子 $[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}'}^\dagger]$ の交換関係(2.29)式から、 $[a_{\bf{p}}, a_{\bf{q}}^\dagger]$ の交換関係を導くことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}'}^\dagger]&=&(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'}). \end{eqnarray} }$
(2.29)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [a_{\bf{p}}, a_{\bf{q}}^\dagger]&=&(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}}). \end{eqnarray} }$

「この関係を代入すると、 $[\phi(x), \phi(y)]$ の交換関係は、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \big[\phi(x), \phi(y)\big] &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}} \int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\ &&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \times\bigg\{\big[ a_{\bf{p}}, a_{\bf{q}}^\dagger \big] e^{-ip\cdot x} e^{iq\cdot y}+\big[a_{\bf{p}}^\dagger, a_{\bf{q}}\big] e^{ip\cdot x}e^{-iq\cdot y}\bigg\}\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}} \int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\ &&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \times\bigg\{(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})e^{-ip\cdot x} e^{iq\cdot y}-(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})e^{ip\cdot x}e^{-iq\cdot y}\bigg\}\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}(e^{-ip\cdot (x-y)} -e^{ip\cdot (x-y)})\\ &=&D(x-y)-D(y-x) \end{eqnarray} }$

「なお、最後の行において、(2.50)式の関係を用いました」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} D(x-y)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}e^{-i{\bf{p}\cdot(\bf{x}-\bf{y})}}. \end{eqnarray} }$
(2.50)

「以上から、クライン−ゴルドン場の一般的な交換関係は次の(2.53)式のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \big[\phi(x), \phi(y)\big] &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}} \int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\ &&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \times\big[( a_{\bf{p}}e^{-ip\cdot x}+ a_{\bf{p}}e^{ip\cdot x}), (a_{\bf{q}}e^{-iq\cdot y}+ a_{\bf{q}}e^{iq\cdot y})\big]\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}(e^{-ip\cdot (x-y)} -e^{ip\cdot (x-y)})\\ &=&D(x-y)-D(y-x). \end{eqnarray} }$
(2.53)