複素平面上の回転 - スーパーサイエンスガール

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \langle 0\mid [\phi(x), \phi(y)]\mid 0\rangle&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\big(e^{-ip\cdot (x-y)}-e^{ip\cdot (x-y)}\big)\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} \bigg\{\frac{1}{2E_{\bf{p}}}e^{-ip\cdot (x-y)}\bigg|_{p^0=E_{\bf{p}}}\\ &&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\frac{1}{-2E_{\bf{p}}}e^{-ip\cdot (x-y)}\bigg|_{p^0=-E_{\bf{p}}}\bigg\}\\ &=&_{x^0>y^0}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\int\frac{dp^0}{2\pi i}\frac{-1}{p^2-m^2} e^{-ip\cdot (x-y)}. \end{eqnarray} }$
(2.54)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} &&_{x^0>y^0}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\int\frac{dp^0}{2\pi i}\frac{-1}{p^2-m^2} e^{-ip\cdot (x-y)}\\ &=&_{x^0>y^0}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\int\frac{dp^0}{2\pi i}\frac{-1}{(p^0+ E_{\bf{p}}) (p^0- E_{\bf{p}})} e^{-ip\cdot (x-y)}. \end{eqnarray} }$

「ここで、複素平面上において、下図のように $p^0= \pm E_{\bf{p}}$ の極を回避するような積分経路を考え、この積分経路に沿って積分変数 $p^0$ の積分を行います」

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「 $x^0>y^0$ の場合、下図に示されるように、下方から半円を描くように近づく閉じた積分経路Cが考えられ、この積分経路C内に２つの極 $p^0= \pm E_{\bf{p}}$ が含まれることがわかります。そこで、これらの極をとることによって、(2.54)式の２行目の式が得られます」

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「どうして、 $x^0>y^0$ の場合に、下から積分経路に近づくことになるのよ？」
　一宮の質問に、越野さんはしばし考え込んだ。
「複素積分では、複素平面上の回転は、指数関数 $e^{i\theta}$ によって表されますよね。位相 $\theta$ がプラスのとき、反時計回りに回転し、位相 $\theta$ がマイナスのとき、時計回りに回転します」