クライン‐ゴルドン演算子のグリーン関数の運動量表示の関係式の導出

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \langle 0\mid [\phi(x), \phi(y)]\mid 0\rangle&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}\big(e^{-ip\cdot (x-y)}-e^{ip\cdot (x-y)}\big)\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3} \bigg\{\frac{1}{2E_{\bf{p}}}e^{-ip\cdot (x-y)}\bigg|_{p^0=E_{\bf{p}}}\\ &&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\frac{1}{-2E_{\bf{p}}}e^{-ip\cdot (x-y)}\bigg|_{p^0=-E_{\bf{p}}}\bigg\}\\ &=&_{x^0>y^0}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\int\frac{dp^0}{2\pi i}\frac{-1}{p^2-m^2} e^{-ip\cdot (x-y)}. \end{eqnarray} }$
(2.54)

「ところで、以前求めた上の(2.54)式ですが、これはフーリエ変換によって導くこともできます。クライン‐ゴルドン演算子のグリーン関数の運動量空間における表示 $\tilde{D}_R(p)$ をフーリエ変換したものを $D_R(x-y)$ とすると、次の(2.57)式のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} D_R(x-y)&=&\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}e^{-ip\cdot (x-y)}\tilde{D}_R(p), \end{eqnarray} }$
(2.57)

「ここで、 $\tilde{D}_R(p)$ については、次のような代数表現が得られます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} (-p^2+m^2)\tilde{D}_R(p)&=&-i. \end{eqnarray} }$

「ちょっと、どうしてそんな形にかけるのよ？　いきなり省略しすぎじゃないの？」
　一宮がいらついた口調で文句をいった。
「これは、下の(2.56)式の $(\partial^2+m^2)D_R(x-y)$ の関係式から導くことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} (\partial^2+m^2)D_R(x-y)&=&\big(\partial^2\theta(x^0-y^0)\big)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\ &+&2\big(\partial_\mu\theta(x^0-y^0)\big)(\partial^\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle)\\ &+&\theta(x^0-y^0)(\partial^2+m^2)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\ &=&-\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\ &+&2\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle+0\\ &=&-i\delta^{(4)}(x-y). \end{eqnarray} }$
(2.56)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} (\partial^2+m^2)D_R(x-y)&=&-i\delta^{(4)}(x-y). \end{eqnarray} }$

「上の式において、 $\delta^{(4)}(x-y), \partial^2D_R(x-y)$ をそれぞれフーリエ変換すると、次のようになります。これらの関係は、実際にフーリエ変換をすることで確かめることができます」

$\delta^{(4)}(x-y)\rightarrow1$ （デルタ関数のフーリエ変換は１）
$\partial^2 D_R(x-y)\rightarrow(ip)^2\tilde{D}_R(p)=-p^2\tilde{D}_R(p)$ （微分 $\partial$ のフーリエ変換は $ip$ ）

「これらの変換によって $(\partial^2+m^2)D_R(x-y)$ の式を置き換えることによって、 $\tilde{D}_R(p)$ の式を導くことができます」

$(\partial^2+m^2)D_R(x-y)=-i\delta^{(4)}(x-y).$
　↓ フーリエ変換（ $\delta^{(4)}(x-y)\rightarrow1$ , $\partial^2 D_R(x-y)\rightarrow(ip)^2\tilde{D}_R(p)=-p^2\tilde{D}_R(p)$ ）
$(-p^2+m^2)\tilde{D}_R(p)=-i.$