デルタ関数の微分を計算する方法 - スーパーサイエンスガール

「それで、超関数を使ってどうやってデルタ関数の微分を計算するのよ？」
　一宮は胡散臭そうな目をしながら越野さんに訊ねた。
「デルタ関数の微分を計算するには、次のような超関数を考えます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} T_{\partial^\mu\delta}(\phi)=\langle \partial^\mu\delta, \phi\rangle=\int_{-\infty}^\infty \partial^\mu\delta(x)\phi(x)dx \end{eqnarray} }$

「ここで、微分の公式 $\partial^\mu(fg)=(\partial^\mu f)g+f(\partial^\mu g)$ から $(\partial^\mu f)g=\partial^\mu(fg)-f(\partial^\mu g)$ がいえるので、これを $-\infty$ から $\infty$ まで積分すると、次のような積分公式が得られます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \int_{-\infty}^\infty(\partial^\mu f)gdx&=&[fg]_{-\infty}^\infty-\int_{-\infty}^\infty f(\partial^\mu g)dx \end{eqnarray} }$

「ここで、 $f=\delta(x), g=\phi(x)$ とすると、次の関係が得られます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \int_{-\infty}^\infty(\partial^\mu\delta(x))\phi(x)dx&=&\bigg[\delta(x)\phi(x)\bigg]_{-\infty}^\infty-\int_{-\infty}^\infty \delta(x)(\partial^\mu \phi(x))dx \end{eqnarray} }$

「この関係式を用いると、 $T_{\partial^\mu\delta}(\phi)$ の式は次のように変形できます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} T_{\partial^\mu\delta}(\phi)&=&\langle \partial^\mu\delta, \phi\rangle=\int_{-\infty}^\infty \partial^\mu\delta(x)\phi(x)dx\\ &=&\bigg[\delta(x)\phi(x)\bigg]_{-\infty}^\infty-\int_{-\infty}^\infty \delta(x)(\partial^\mu \phi(x))dx \end{eqnarray} }$

「ここで、試験関数 $\phi(x)$ は、 $x$ の絶対値が十分に大きいときに急速に0に収束する関数なので、上式第２行目の右辺第１項はゼロとなります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} T_{\partial^\mu\delta}(\phi)&=&\langle \partial^\mu\delta, \phi\rangle=\int_{-\infty}^\infty \partial^\mu\delta(x)\phi(x)dx\\ &=&-\int_{-\infty}^\infty \delta(x)(\partial^\mu \phi(x))dx\\ &=&-\langle\delta, \delta^\mu\phi\rangle \end{eqnarray} }$

「それゆえ、試験関数 $\phi(x)$ をいろいろな値にしても上の式が常に成り立つとき、デルタ関数の微分には、次の関係が成り立つことがわかります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial^\mu\delta(x)\phi(x)&=&-\delta(x)(\partial^\mu \phi(x)) \end{eqnarray} }$

「あら、デルタ関数の微分がなくなったわね」
　一宮が感心するように唸った。
「このように、デルタ関数 $\delta(x)$ を試験関数 $\phi(x)$ とセットで取り扱うことによって、デルタ関数 $\delta(x)$ の微分の問題を、試験関数 $\phi(x)$ の微分の問題にすり替えることができるというわけです」