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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

ハミルトニアンの物理的な意味

「次に、ハミルトニアン \mathcal{H}の物理的な意味について考えてみます。まず、(2.5)式のハミルトニアン \mathcal{H}に(2.6)式のラグランジアン \mathcal{L}を代入してみます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3x[\pi({\bf{x}})\dot{\phi({\bf{x}})}-\mathcal{L}]\equiv\int d^3x\mathcal{H}.
\end{eqnarray}
}

(2.5)

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{L}&=&\frac{1}{2}\dot{\phi}^2-\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2\\
&=&\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2.
\end{eqnarray}
}

(2.6)

「次に、前回求めた \pi(x)=\dot{\phi}(x)の関係を使うと、ハミルトニアン \mathcal{H}は、次のように書くことができます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
H&=&\int d^3x\mathcal{H}=\int d^3x\bigg[\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2\bigg].
\end{eqnarray}
}
(2.8)

「一般的に、ハミルトニアンは『系全体のエネルギー』を表すことは、以前お話しましたが、この式を見ると、3つの項からなることが分かります。この3つの項には、物理的な意味があって、第1項は、時間中を場\phiが『動く』ことに起因するエネルギー、すなわち時間的に場\phiが変動するエネルギーを表します。第2項は、空間中で場\phiが『変形する(shearing、せん断。ずれ)』することに起因するエネルギー、すなわち空間的に場\phiが変動するエネルギーを表します。そして第3項は、そもそも場\phiが存在するエネルギーを表します」

ハミルトニアン:系全体のエネルギー
(1)時間的に場\phiが変動するエネルギー
(2)空間的に場\phiが変動するエネルギー
(3)場\phiが存在するエネルギー

「これは、ゲームのアナロジーでいえば、(1)は、画素の色情報を時間とともに変化させるためのエネルギーに相当し、(2)は、画素の色情報の空間的な分布を変化させるためのエネルギーに相当し、(3)は、色情報を与える以前に、画素そのものが有するエネルギーに相当すると考えるといいと思います」

f:id:Dreistein:20141206071943j:plain

ゲームのアナロジー
(1)画素の色情報を時間とともに変化させるためのエネルギー
(2)画素の色情報の空間的な分布を変化させるためのエネルギー
(3)画素そのものが有するエネルギーに相当する

「なお、このテキストでは、セクション2.3と2.4でこのハミルトニアンの詳細を調べるとのことです」