ハミルトニアンの物理的な意味 - スーパーサイエンスガール

「次に、ハミルトニアン $\mathcal{H}$ の物理的な意味について考えてみます。まず、(2.5)式のハミルトニアン $\mathcal{H}$ に(2.6)式のラグランジアン $\mathcal{L}$ を代入してみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H&=&\int d^3x[\pi({\bf{x}})\dot{\phi({\bf{x}})}-\mathcal{L}]\equiv\int d^3x\mathcal{H}. \end{eqnarray} }$
(2.5)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}&=&\frac{1}{2}\dot{\phi}^2-\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2\\ &=&\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2. \end{eqnarray} }$
(2.6)

「次に、前回求めた $\pi(x)=\dot{\phi}(x)$ の関係を使うと、ハミルトニアン $\mathcal{H}$ は、次のように書くことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H&=&\int d^3x\mathcal{H}=\int d^3x\bigg[\frac{1}{2}\pi^2+\frac{1}{2}(\nabla\phi)^2+\frac{1}{2}m^2\phi^2\bigg]. \end{eqnarray} }$
(2.8)

「一般的に、ハミルトニアンは『系全体のエネルギー』を表すことは、以前お話しましたが、この式を見ると、３つの項からなることが分かります。この３つの項には、物理的な意味があって、第１項は、時間中を場 $\phi$ が『動く』ことに起因するエネルギー、すなわち時間的に場 $\phi$ が変動するエネルギーを表します。第２項は、空間中で場 $\phi$ が『変形する（shearing、せん断。ずれ）』することに起因するエネルギー、すなわち空間的に場 $\phi$ が変動するエネルギーを表します。そして第３項は、そもそも場 $\phi$ が存在するエネルギーを表します」