スカラー場とは - スーパーサイエンスガール

「結局、ハミルトニアンは、 $p({\bf{x}})=\pi({\bf{x}})d^3x$ を使って、次のように書くことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H&=&\Sigma_{{\bf{x}}}p({\bf{x}})\dot{\phi({\bf{x}})}-L. \end{eqnarray} }$

「この式を連続的に表現すると、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} H&=&\int d^3x[p({\bf{x}})\dot{\phi({\bf{x}})}-\mathcal{L}]\equiv\int d^3x\mathcal{H}. \end{eqnarray} }$
(2.5)

「ここで、 $\mathcal{H}$ は、ハミルトニアン密度と呼ばれます。なお、テキストによれば、このセクションの最後で、ハミルトニアン密度 $\mathcal{H}$ の式を別の方法で再導出するそうです。ここで、簡単な例として、単一場 $\varphi(x)$ の理論について考えてみます。単一場 $\varphi(x)$ は、次のようなラグランジアン $\mathcal{L}$ に従います」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}&=&\frac{1}{2}\dot{\phi}^2-\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2\\ &=&\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2. \end{eqnarray} }$
(2.6)

「ちょっと、どうしていきなりそんな形が出てくるのよ？」
　一宮が訳が分からないといった顔をして訊ねた。
「ラグランジアン $L$ は、（運動エネルギー）−（位置エネルギー）の形で表しますが、これは形式的に考えると、（微分の２次を含む項）−（微分を含まない逆符号の項）と考えることもできます。前者を運動項、後者をポテンシャル項と呼びます」

ラグランジアン $\mathcal{L}$ の構造＝運動項（微分の２次を含む項）−ポテンシャル項（微分を含まない逆符号の項）
${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}&=&\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2. \end{eqnarray} }$

「そして、運動項はさらに、（時間による微分の項）と（空間による微分の項）の２種類の項に分けられます」

運動項（微分の２次を含む項）=時間微分項＋空間微分項
${ \displaystyle \begin{eqnarray} \frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2&=&\frac{1}{2}\dot{\phi}^2-\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2. \end{eqnarray} }$

「その結果、(2.6)式が導かれるのです。ここで、 $\frac{1}{2}$ は単なる係数と考えてください。また、 $m^2$ も係数ですが、このmは、質量と解釈されます。これについては、セクション2.3で扱うとのことです」

「それじゃ、どうしてポテンシャル項が場 $\phi$ の１次の項じゃなくて、２次の項なのよ？」
「それは、場 $\phi$ の対称性を考えているからです。対称性を考えると、１次の場 $\phi$ としては、プラスの場 $+\phi$ とマイナスの場 $-\phi$ の両方が均等に現れます。だから、１次の項を考えると、これらプラスの場 $+\phi$ とマイナスの場 $-\phi$ が相殺して消えてしまいます。一方、２次の場 $\phi^2$ の場合、マイナスの場 $-\phi$ の２乗もプラスになるので、２次の項は相殺せずに残ります。実際には、２次の項だけでなく、４次、６次、８次……と偶数の項が全て残りますが、場 $\phi$ が小さいものと仮定して、４次以降の項は、２次の項に対して無視できるものと近似して考えているのです」

「ねえ、さっきから思うんだけど、このテキストの著者って、ちょっと説明を省略しすぎじゃない？　こんな説明で、読者がついて行けるとでも思っているのかしら？」
　一宮が憤慨した。
　それについては、俺も同感だな。とはいえ、量子力学や相対性理論についてある程度の予備知識がないと、このテキストを最後まで読み通すのは困難だろう。もっとも、さすがの著者も、よもや一宮のような何の予備知識もないただの女子高生が、場の量子論のテキストをガチで読む時代が来るとは、まったく想定していなかったとは思うが……。

「ところで、場 $\varphi$ は、『スカラー場（scalar field）』とも呼ばれます」
「スカラー場？」
「スカラー場とは、空間の各点に物理的な量が１つ１つ対応したような場です」