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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

クライン−ゴルドン場のハミルトニアンの生成・消滅演算子による表現3


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{H}&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\bigg\{-\frac{\omega_{\bf{p}}}{4}
\big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{-\bf{p}}-a_{\bf{p}}^{\dagger}\big)+\frac{\omega_{\bf{p}}}{4}
\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{-\bf{p}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}\big)\bigg\}\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\cdot\frac{\omega_{\bf{p}}}{4}\bigg\{\big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}}^{\dagger}-a_{-\bf{p}}\big)+
\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\bigg\}\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\cdot\frac{\omega_{\bf{p}}}{4}\big(a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}-a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}}^{\dagger}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}}+a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}+a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}}^{\dagger}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}}^{\dagger}
\big)
\end{eqnarray}
}

「ここで、 \int d^{(3)}p a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}}=\int d^{(3)}pa_{\bf{p}}a_{\bf{p}}, \int d^{(3)}pa_{-\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}^\dagger=\int d^{(3)}pa_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}^\daggerなどの関係が成り立つものと仮定すると、クライン−ゴルドン場のハミルトニアン \mathcal{H}は次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{H}&=&
\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\cdot\frac{\omega_{\bf{p}}}{4}\big(a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}-a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}-a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}}^{\dagger}+a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}}+a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}+a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}+a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}}^{\dagger}\big)\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\cdot\frac{\omega_{\bf{p}}}{2}\big(a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}+a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}}\big)
\end{eqnarray}
}

「また、交換関係 [a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}}^\dagger]=a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^\dagger-a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}から、上式に a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^\dagger=a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}+[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}}^\dagger]を代入すると、上式は次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{H}&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\cdot\frac{\omega_{\bf{p}}}{2}\big(a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}+a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}}\big)\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\cdot\frac{\omega_{\bf{p}}}{2}\big(2a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}+[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}}^\dagger]\big)\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\omega_{\bf{p}}\bigg(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}+\frac{1}{2}[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}}^\dagger]\bigg).
\end{eqnarray}
}

「したがって、(2.8)式のハミルトニアンは結局、次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\mathcal{H}&=&\int d^3 x\int\frac{d^3p d^3p'}{(2\pi)^6}e^{i{({\bf{p}}+{\bf{p}'})\cdot\bf{x}}}\bigg\{-\frac{\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}{4}
\big(a_{\bf{p}}-a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}-a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\\
&+&\frac{-{\bf{p}}\cdot{\bf{p}}'+m^2}{4\sqrt{\omega_{\bf{p}}\omega_{\bf{p}'}}}
\big(a_{\bf{p}}+a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)\big(a_{\bf{p}'}+a_{-\bf{p}'}^{\dagger}\big)\bigg\}\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\omega_{\bf{p}}\bigg(a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}+\frac{1}{2}[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}}^\dagger]\bigg).
\end{eqnarray}
}
(2.31)