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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

クライン-ゴルドン場の全運動量演算子の計算3

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
{\bf{P}}&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2}\big({\bf{p}}a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}}+{\bf{p}}a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}+{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}}+{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}}^{\dagger}\big)
\end{eqnarray}
}

「ここで、上式右辺の第1項 {\bf{p}}a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}}および第4項 {\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}}^{\dagger}は、pの符号を入れ替えたとき、それぞれ -{\bf{p}}a_{-\bf{p}}a_{\bf{p}}=-{\bf{p}}a_{\bf{p}}a_{-\bf{p}}および -{\bf{p}}a_{-\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}}^{\dagger}=-{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{-\bf{p}}^{\dagger}となり、全体として符号がプラスからマイナスに入れ替わります。それゆえ、これらはpについて奇関数なので、 -\inftyから \inftyのpの積分において消去されます。したがって、右辺の第2項および第3項のみが残ります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
{\bf{P}}&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2}{\bf{p}}\big(a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}+a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}}\big)
\end{eqnarray}
}

「最後に、交換関係 [a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}}^\dagger]=a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^\dagger-a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}を用いて、上式に a_{\bf{p}}a_{\bf{p}}^\dagger=a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{p}}+[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}}^\dagger]を代入すると、次のようになります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
{\bf{P}}&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\bigg\{{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}}+\frac{1}{2}{\bf{p}}[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}}^\dagger]\bigg\}
\end{eqnarray}
}

「ここで、(2.29)式の関係から、上式の第2項は、デルタ関数になります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}'}^\dagger]&=&2\pi^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'}).
\end{eqnarray}
}
(2.29)

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
{\bf{P}}&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\bigg\{{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}}+\frac{{(2\pi)^3}}{2}{\bf{p}}\delta^{(3)}(0)\bigg\}
\end{eqnarray}
}

「上式の右辺第2項も、pについて奇関数なので、同様に -\inftyから \inftyのpの積分において消去されます。結局、全運動量演算子 {\bf{P}}は次の(2.33)式のような形に書けることがわかります」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
{\bf{P}}&=&-\int d^3x\pi({\bf{x}})\nabla\phi({\bf{x}})=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}{\bf{p}}a_{\bf{p}}^{\dagger}a_{\bf{p}}.
\end{eqnarray}
}
(2.33)