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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

運動量演算子と生成・消滅演算子の関係式の導出

「下の運動量演算子と生成・消滅演算子との交換関係から、 \phi(x) \phi(0)との間の関係式を求めてみましょう」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[a_{\bf{p}}, {\bf{P}}]&=&{\bf{p}}a_{\bf{p}}\\
[a_{\bf{p}}^\dagger, {\bf{P}}]&=&{-\bf{p}}a_{\bf{p}}^\dagger
\end{eqnarray}
}

「上の式から、次の式が導かれます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
a_{\bf{p}}{\bf{P}}-{\bf{P}} a_{\bf{p}}&=&a_{\bf{p}}{\bf{p}}\\
a_{\bf{p}}^\dagger{\bf{P}}-{\bf{P}} a_{\bf{p}}^\dagger&=&-a_{\bf{p}}^\dagger{\bf{p}}\\
\therefore -{\bf{P}} a_{\bf{p}}&=&a_{\bf{p}}({\bf{p}}-{\bf{P}})\\
{-\bf{P}} a_{\bf{p}}^\dagger&=&{-a}_{\bf{p}}^\dagger({\bf{p}}+{\bf{P}})
\end{eqnarray}
}

「ここで、上の消滅演算子の関係式から (-{\bf{P}})^n a_{\bf{p}}を計算してみます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
(-{\bf{P}})^n a_{\bf{p}}&=&(-{\bf{P}})^{n-1}(-{\bf{P}} a_{\bf{p}})\\
&=&(-{\bf{P}})^{n-1} a_{\bf{p}}({\bf{p}}-{\bf{P}})\\
&=&\cdots\\
&=&a_{\bf{p}}({\bf{p}}-{\bf{P}})^n
\end{eqnarray}
}

「また、 (-{\bf{P}})^n a_{\bf{p}}^\daggerについても同様に計算することができます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
(-{\bf{P}})^n a_{\bf{p}}&=&a_{\bf{p}}({\bf{p}}-{\bf{P}})^n\\
(-{\bf{P}})^n a_{\bf{p}}^\dagger&=&-a_{\bf{p}}^\dagger({\bf{p}}+{\bf{P}})^n
\end{eqnarray}
}

「この関係式から、(2.46)式を導いたのと同様に、Talor展開を用いて、次の式を導くことができます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\bigg\{1+(-{\bf{P})}\cdot{\bf{x}}+\frac{(-{\bf{P}})^2\cdot{\bf{x}}^2}{2!}+\cdots\bigg\}a_{\bf{p}} &=&a_{\bf{p}}\bigg\{1+({\bf{p}}-{\bf{P}})\cdot{\bf{x}}+\frac{ ({\bf{p}}-{\bf{P}})^2\cdot{\bf{x}}^2}{2!}+\cdots\bigg\}
\end{eqnarray}
}

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
e^{-i{\bf{P}}\cdot{\bf{x}}} a_{\bf{p}}&=&a_{\bf{p}}e^{i({\bf{p}}-{\bf{P}})\cdot{\bf{x}}}\\
e^{-i{\bf{P}}\cdot{\bf{x}}} a_{\bf{p}}^\dagger&=&a_{\bf{p}}^\dagger e^{-i({\bf{p}}+{\bf{P}})\cdot{\bf{x}}}
\end{eqnarray}
}

「上式の両辺の右側から e^{i{\bf{P}}\cdot{\bf{x}}}をかけることによって、次の(2.48)式が導かれます」

{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
e^{-i{\bf{P}}\cdot{\bf{x}}}a_{\bf{p}} e^{i{\bf{P}}\cdot{\bf{x}}}&=&a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}, \,\,\,\,\,\,\,
e^{-i{\bf{P}}\cdot{\bf{x}}}a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{P}}\cdot{\bf{x}}}&=&a_{\bf{p}}^\dagger e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}.
\end{eqnarray}
}
(2.48)