時空間のクライン‐ゴルドン場 - スーパーサイエンスガール

${ \displaystyle \begin{eqnarray} e^{-i{\bf{P}}\cdot{\bf{x}}}a_{\bf{p}} e^{i{\bf{P}}\cdot{\bf{x}}}&=&a_{\bf{p}}e^{i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}, \,\,\,\,\,\,\, e^{-i{\bf{P}}\cdot{\bf{x}}}a_{\bf{p}}^\dagger e^{i{\bf{P}}\cdot{\bf{x}}}&=&a_{\bf{p}}^\dagger e^{-i{\bf{p}}\cdot{\bf{x}}}, \end{eqnarray} }$
(2.48)

「上の(2.48)式の左右からそれぞれ $e^{iHt}$ および $e^{-iHt}$ をかけて、時間に依存した式に書き換えることによって、次の(2.49)式が成り立つことがわかります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi(x)&=&e^{i(Ht-{\bf{P}}\cdot{\bf{x}})}\phi(0) e^{-i(Ht-{\bf{P}}\cdot{\bf{x}})}\\ &=&e^{iP\cdot x}\phi(0)e^{-iP\cdot x}, \end{eqnarray} }$
(2.49)

「なお、 $P^\mu=(H, P)$ 、 $x^\mu=(t,-{\bf{x}})$ としました。上の式の右辺は、 $P, x$ のみが含まれ、時間 $t$ に依存していないように見えますが、実際には、４元ベクトル $P^\mu, x^\mu$ で表記しているため、時間 $t$ も含まれていることに注意してください」
「紛らわしいわね！」
　一宮が不満そうに頬を膨らませた。