読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

時空間のクライン‐ゴルドン場の伝搬粒子の振幅の導出2

\langle 0\mid\phi(x)\phi(y)\mid0\rangle
 ↓
 \langle 0\mid a_{\bf{p}} a_{\bf{q}}\mid0\rangle \langle 0\mid a_{\bf{p}} a_{\bf{q}}^\dagger\mid0\rangle \langle 0\mid a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}\mid0\rangle \langle 0\mid a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}^\dagger\mid0\rangle

「前回の考察から、上の4つの項のうち、唯一ゼロにならない項は、 \langle 0\mid a_{\bf{p}} a_{\bf{q}}^\dagger\mid0\rangleとなります。この結果を踏まえて、実際に D(x-y)を計算してみましょう」

時空間のクライン−ゴルドン
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\phi({\bf{x}}, t)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big) \mid_{p^0=E_{\bf{p}}}:\\
\pi({\bf{x}},t)&=&\frac{\partial}{\partial t}\phi({\bf{x}},t).
\end{eqnarray}
}
(2.47)

「計算には、上の(2.47)式を代入します」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
D(x-y)&=&\langle0\mid \phi(x)\phi(y)\mid0\rangle\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\
&\times&\langle0\mid (a_{\bf{p}} a_{\bf{q}} e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}} e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{y}}}+a_{\bf{p}} a_{\bf{q}} ^\dagger e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}} e^{i{\bf{q}\cdot\bf{y}}}+a_{\bf{p}}^\dagger  a_{\bf{q}} e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}} e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{y}}}+a_{\bf{p}}^\dagger  a_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}} e^{i{\bf{q}\cdot\bf{y}}})\mid0\rangle \\
%
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\langle 0\mid a_{\bf{p}} a_{\bf{q}} ^\dagger \mid0\rangle e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}} e^{i{\bf{q}\cdot\bf{y}}}
\end{eqnarray}
}

「ここで、次の(2.29)式を用いて \langle 0\mid a_{\bf{p}} a_{\bf{q}} ^\dagger\mid0\rangleを計算することができます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
[a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}'}^\dagger]&=&(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'}).
\end{eqnarray}
}
(2.29)


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
\langle 0\mid a_{\bf{p}} a_{\bf{q}} ^\dagger\mid0\rangle= \langle 0\mid \{(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})-a_{\bf{q}}^\dagger a_{\bf{p}}\} \mid0\rangle=(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})
\end{eqnarray}
}

「それゆえ、 D(x-y)は次のようになります」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
D(x-y)&=&\langle0\mid \phi(x)\phi(y)\mid0\rangle\\
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})
 e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}} e^{i{\bf{q}\cdot\bf{y}}}\\
%
&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}e^{-i{\bf{p}\cdot(\bf{x}-\bf{y})}}.
\end{eqnarray}
}

「これから、(2.50)式が導かれます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
D(x-y)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}e^{-i{\bf{p}\cdot(\bf{x}-\bf{y})}}.
\end{eqnarray}
}
(2.50)