時空間のクライン‐ゴルドン場の伝搬粒子の振幅の導出２

$\langle 0\mid\phi(x)\phi(y)\mid0\rangle$
　↓
$\langle 0\mid a_{\bf{p}} a_{\bf{q}}\mid0\rangle$ 、 $\langle 0\mid a_{\bf{p}} a_{\bf{q}}^\dagger\mid0\rangle$ 、 $\langle 0\mid a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}\mid0\rangle$ 、 $\langle 0\mid a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}^\dagger\mid0\rangle$

「前回の考察から、上の４つの項のうち、唯一ゼロにならない項は、 $\langle 0\mid a_{\bf{p}} a_{\bf{q}}^\dagger\mid0\rangle$ となります。この結果を踏まえて、実際に $D(x-y)$ を計算してみましょう」

時空間のクライン−ゴルドン場
${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}}, t)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big) \mid_{p^0=E_{\bf{p}}}:\\ \pi({\bf{x}},t)&=&\frac{\partial}{\partial t}\phi({\bf{x}},t). \end{eqnarray} }$
(2.47)

「計算には、上の(2.47)式を代入します」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} D(x-y)&=&\langle0\mid \phi(x)\phi(y)\mid0\rangle\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\\ &\times&\langle0\mid (a_{\bf{p}} a_{\bf{q}} e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}} e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{y}}}+a_{\bf{p}} a_{\bf{q}} ^\dagger e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}} e^{i{\bf{q}\cdot\bf{y}}}+a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}} e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}} e^{-i{\bf{q}\cdot\bf{y}}}+a_{\bf{p}}^\dagger a_{\bf{q}}^\dagger e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}} e^{i{\bf{q}\cdot\bf{y}}})\mid0\rangle \\ % &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}\langle 0\mid a_{\bf{p}} a_{\bf{q}} ^\dagger \mid0\rangle e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}} e^{i{\bf{q}\cdot\bf{y}}} \end{eqnarray} }$

「ここで、次の(2.29)式を用いて $\langle 0\mid a_{\bf{p}} a_{\bf{q}} ^\dagger\mid0\rangle$ を計算することができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [a_{\bf{p}}, a_{\bf{p}'}^\dagger]&=&(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{p}'}). \end{eqnarray} }$
(2.29)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \langle 0\mid a_{\bf{p}} a_{\bf{q}} ^\dagger\mid0\rangle= \langle 0\mid \{(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}})-a_{\bf{q}}^\dagger a_{\bf{p}}\} \mid0\rangle=(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}}) \end{eqnarray} }$

「それゆえ、 $D(x-y)$ は次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} D(x-y)&=&\langle0\mid \phi(x)\phi(y)\mid0\rangle\\ &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\int\frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{p}}}}\frac{1}{\sqrt{2E_{\bf{q}}}}(2\pi)^3\delta^{(3)}({\bf{p}}-{\bf{q}}) e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}} e^{i{\bf{q}\cdot\bf{y}}}\\ % &=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\bf{p}}}e^{-i{\bf{p}\cdot(\bf{x}-\bf{y})}}. \end{eqnarray} }$