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スーパーサイエンスガール

日々科学と格闘する理系高校生達の超絶難解な日常。

時間順序積とは

「次に、(2.60)式について考察してみます」


{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
D_F(x-y)&=&\left\{
\begin{array}{l}
D(x-y) & \textrm{for } x^0\textrm{ > }y^0 \\
D(y-x) & \textrm{for } x^0\textrm{ < }y^0 \\
\end{array}
\right.\\
&=&\theta(x^0-y^0)\langle 0\mid \phi(x) \phi(y)\mid 0\rangle+\theta(y^0-x^0)\langle 0\mid \phi(y) \phi(x)\mid 0\rangle\\
&=&\langle0\mid T\phi(x)\phi(y)\mid0\rangle.
\end{eqnarray}
}
(2.60)

「(2.60)式の最後の行は、第2行目の2項を1項にまとめたもので、Tは、『時間順序(time-ordering)積』のTを表しています。このTは、左側の項が最も新しい時間になるように演算子を配置することを表します」

時間順序(time-ordering)積T:左側の項が最も新しい時間になるように演算子を配置する
例:(過去→ x_0{<}y_0{<}z_0→未来のとき)  T(\phi(x) \phi(y)\phi(z))=\phi(z)\phi(y)\phi(x)

「また、(2.60)式の最後の行に (\partial^2+m^2)を適用することによって、 D_Fがクライン‐ゴルドン演算子グリーン関数であることを直接確かめることができます。これは(2.56)式を導いたのと同様の計算で導くことができます」
 そういって、越野さんはマーカーペンを手にとった。

 \langle0\mid T\phi(x)\phi(y)\mid0\rangleの第1項の計算
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
&&(\partial^2+m^2)\theta(x^0-y^0)\langle 0\mid \phi(x) \phi(y)\mid 0\rangle\\
&=&\big(\partial^2\theta(x^0-y^0)\big)\langle 0\mid \phi(x) \phi(y)\mid 0\rangle+2\big(\partial_\mu\theta(x^0-y^0)\big)\big(\partial^\mu\langle 0\mid \phi(x) \phi(y)\mid 0\rangle\big)\\
&+&\theta(x^0-y^0)(\partial^2+m^2)\langle 0\mid \phi(x) \phi(y)\mid 0\rangle\\
&=&-\delta(x^0-y^0)\langle 0\mid \pi(x) \phi(y)\mid 0\rangle+2\delta(x^0-y^0)\langle 0\mid \pi(x) \phi(y)\mid 0\rangle+0\\
&=&\delta(x^0-y^0)\langle 0\mid \pi(x) \phi(y)\mid 0\rangle
\end{eqnarray}
}

 \langle0\mid T\phi(x)\phi(y)\mid0\rangleの第2項の計算
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
&&(\partial^2+m^2)\theta(y^0-x^0)\langle 0\mid \phi(y) \phi(x)\mid 0\rangle\\
&=&\big(\partial^2\theta(y^0-x^0)\big)\langle 0\mid \phi(y) \phi(x)\mid 0\rangle+2\big(\partial_\mu\theta(y^0-x^0)\big)\big(\partial^\mu\langle 0\mid \phi(y) \phi(x)\mid 0\rangle\big)\\
&+&\theta(y^0-x^0)(\partial^2+m^2)\langle 0\mid \phi(y) \phi(x)\mid 0\rangle\\
&=&\delta(y^0-x^0)\langle 0\mid \phi(y) \pi(x)\mid 0\rangle-2\delta(y^0-x^0)\langle 0\mid \phi(y) \pi(x)\mid 0\rangle+0\\
&=&-\delta(y^0-x^0)\langle 0\mid \phi(y) \pi(x)\mid 0\rangle
\end{eqnarray}
}

 \langle0\mid T\phi(x)\phi(y)\mid0\rangleの第1項と第2項の和の計算
{ \displaystyle
\begin{eqnarray}
&&(\partial^2+m^2)\theta(x^0-y^0)\langle 0\mid \phi(x) \phi(y)\mid 0\rangle+(\partial^2+m^2)\theta(y^0-x^0)\langle 0\mid \phi(y) \phi(x)\mid 0\rangle\\
&=&\delta(x^0-y^0)\langle 0\mid \pi(x) \phi(y)\mid 0\rangle-\delta(y^0-x^0)\langle 0\mid \phi(y) \pi(x)\mid 0\rangle\\
&=&\delta(x^0-y^0)\langle 0\mid [\pi(x),\phi(y)]\mid 0\rangle\,\,\,(\because\delta(x^0-y^0)= \delta(x^0-y^0))\\
&=&-i\delta^{(4)}(x-y).
\end{eqnarray}
}

「以上の計算から、 D_Fがクライン‐ゴルドン演算子グリーン関数であることが分かりました」