Clebsch-Gordan係数とは
「次に、電子と陽電子
のスピンの合成を考えると、
のClebsch-Gordan係数があらわれる」
「くれぶすごるだん……係数?」
一宮が首を傾げる。
「Clebsch-Gordan係数は、角運動量を合成する際に得られる係数。ここで、電子および陽電子
のスピン角運動量の大きさはそれぞれ、
だから、それらのz方向のスピン角運動量の大きさはそれぞれ、
となる。ここで、
は右回りのスピンをあらわし、
は左回りのスピンをあらわす」
図1.3
「電子のスピン角運動量と陽電子
のスピン角運動量を合成した角運動量の大きさを
とし、合成角運動量のz方向の大きさを
とすると、合成角運動量の状態ベクトルは、例えば、
が
をあらわすとして、次のようにかける」
「この合成角運動量の状態ベクトルのや
などの展開係数をClebsch-Gordan係数と呼ぶ。いま考えている系では、電子
と陽電子
がいずれも進行方向に対して右回りのスピンを有することから、それぞれのz軸方向のスピン角運動量が互いに打ち消し合ってゼロになる。そこで、
の状態ベクトルの寄与だけを取り出せばいい」
「古典的には、Clebsch-Gordan係数を求めるだけで十分だけど、相対論を考慮すると、4次元のローレンツ群で角運動量を足し合わせることになるため、スピンだけでなく、ローレンツ変換の特性を考慮に入れなければならない。このテキストによれば、反対称テンソルとスカラーの重ね合わせはゼロになるため、4元ベクトルを質量のないフェルミ粒子の状態に結合させるClebsh-Gordan係数はゼロになるとのこと」
「反対称テンソル?」
一宮が訊ねる。
「反対称テンソルについては、後で説明するとのこと。とりあえず、ここでは反対称性があるため、平均値をとるとトータルでゼロになると理解しておくといい」
「よくわからないわね」
「テキストが後で説明するといってるんだから仕方がない」
一宮は顔を真っ赤にして憤慨した。
「まったく、肝心のところを後回しにするなんて、とんでもない著者ね。そんないいかげんな説明で読者が納得できるわけないじゃない。はっきりいって読者をなめてるわね。どこかでこのテキストの著者に出会うことがあったら、フル●ンにして木の上から逆さ吊りにしてやるわ」
おいおい。仮にも女子高生が『フ●チン』などという、はしたない言葉を使うんじゃない。
そんな一宮の憤慨ぶりも、まるでどこ吹く風といったように、武者さんは続けた。
「結局、振幅はゼロになり、始状態または終状態の全スピン角運動量が0となる他の組み合わせ、すなわち、始状態または終状態のスピンの組み合わせが、
または
のいずれかになる他の11の振幅もゼロになる。それゆえ、ゼロにならない振幅は、次の4つの場合に限られる」