複素スカラー場のラグランジアン - スーパーサイエンスガール

「もう１つのマイナーな例としては、次のようなラグランジアンを考えてみます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}=|\partial_\mu\phi|^2-m^2|\phi|^2 \end{eqnarray} }$
(2.14)

「ここで、 $\varphi$ は、複素数値の場です。このラグランジアン $\mathcal{L}$ の運動方程式をオイラー・ラグランジュ方程式から求めてみます」

オイラー・ラグランジュ方程式（場の方程式）
${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\mu\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\bigg)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}&=&0 \end{eqnarray} }$
(2.3)

「ここで、複素数の絶対値の定義 $|z|^2=z^\ast z$ （ $z^\ast$ とzとは複素共役。例えば、 $z=a+bi$ のとき、 $z^\ast=a-bi$ となる）から、(2.14)式は、次のように書くことができます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{L}=|\partial_\mu\phi|^2-m^2|\phi|^2=(\partial^\mu\phi)^\ast(\partial_\mu\phi)-m^2\phi^\ast\phi \end{eqnarray} }$
(2.14)

「この(2.14)式を(2.3)式に代入すると、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \partial_\mu\bigg(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\bigg)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} &=&\partial_\mu(\partial^\mu\phi)^\ast+m^2\phi^\ast\\ &=&(\partial_\mu\partial^\mu+m^2)\phi^\ast=0\\ &=&(\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\phi^\ast=0 \end{eqnarray} }$

「 $(\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\phi^\ast=0$ の複素共役をとることにより、(2.7)式で求めたクライン−ゴルドン方程式が導かれることがわかります」

クライン−ゴルドン方程式
${ \displaystyle \begin{eqnarray} \bigg(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+m^2\bigg)\phi=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\, \textrm{or} \,\,\, \,\,\,\,\,\, (\partial^\mu\partial_\mu+m^2)\phi=0 \end{eqnarray} }$
(2.7)

「このラグランジアン $\mathcal{L}$ は、変換 $\varphi\rightarrow e^{i\alpha}\varphi$ のもとで不変です。なぜなら、ラグランジアン $\mathcal{L}$ は、場の２乗 $|\varphi|^2$ の項を含みますが、 $e^{i\alpha}\varphi$ の複素共役は、 $e^{-i\alpha}\varphi^\ast$ となるため、これらの積をとっても、 $e^{i\alpha}\varphi\times e^{-i\alpha}\varphi^\ast=\varphi\varphi^\ast=|\varphi|^2$ となって元の場の２乗の積に戻るからです」