時空間のクライン‐ゴルドン場の物理的意味１

「ここで、(2.47)式の物理的な意味について考えてみましょう」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} \phi({\bf{x}}, t)&=&\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\bf{p}}}}\big(a_{\bf{p}}e^{-i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}+a_{\bf{p}}^{\dagger}e^{i{\bf{p}\cdot\bf{x}}}\big) \mid_{p^0=E_{\bf{p}}}:\\ \pi({\bf{x}},t)&=&\frac{\partial}{\partial t}\phi({\bf{x}},t). \end{eqnarray} }$
(2.47)

「(2.47)式は、量子場 $\phi(x)$ の粒子と波の二重性の解釈を明確にします。すなわち、 $\phi(x)$ は、励起された場の量子である粒子を生成・消滅させるヒルベルト空間演算子として記載される一方で、 $\phi(x)$ は、クライン－ゴルドン方程式の解（ $e^{ip\cdot x}$ および $e^{-ip\cdot x}$ ）の線形結合を表します」

$\phi(x)$ は２種類の要素からなる
（１） $a_{\bf{p}}^{\dagger}, a_{\bf{p}}$ ：励起された場の量子である粒子を生成・消滅させるヒルベルト空間演算子（粒子性）
（２）クライン－ゴルドン方程式の解（ $e^{ip\cdot x}$ および $e^{-ip\cdot x}$ ）の線形結合（波の重ね合わせ）

「つまり、生成演算子 $a_{\bf{p}}^{\dagger}$ と消滅演算子 $a_{\bf{p}}$ が粒子性に関係していて、 $e^{ip\cdot x}$ および $e^{-ip\cdot x}$ が波動性に関係しているってこと？」
　越野さんは頷いた。
「ざっくりいえば、そういうことになりますね」