クライン‐ゴルドン場の交換関係の変形５ - スーパーサイエンスガール

「次に、下の式の交換関係 $\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle$ を計算してみましょう」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} (\partial^2+m^2) D_R(x-y) &=&\big(\partial^\mu\delta(x^0-y^0)\big)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\ &+&2\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle+0\\ &=&-\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\ &+&2\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle+0\\ &=&\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\ \end{eqnarray} }$

「ここで、下の(2.20)式から、交換関係 $[\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]=i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}})$ が成り立ちますが、交換関係の左右の項を入れ替えると符号が入れ替わります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [\phi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]&=&i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}});\\ [\phi({\bf{x}}), \phi({\bf{y}})]&=&[\pi({\bf{x}}), \pi({\bf{y}})]=0. \end{eqnarray} }$
(2.20)

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [\pi({\bf{y}}), \phi({\bf{x}})]&=&-i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}}) \end{eqnarray} }$

「上式において $\bf{x}$ と $\bf{y}$ を入れ替えても一般性は失われず、また、デルタ関数の原点に関する対称性（ $\delta^{(3)}({\bf{y}}-{\bf{x}})=\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}})$ ）に注意すると、次の関係が成り立つことがわかります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} [\pi({\bf{x}}), \phi({\bf{y}})]=-i\delta^{(3)}({\bf{y}}-{\bf{x}})=-i\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}}) \end{eqnarray} }$

「この式を $(\partial^2+m^2) D_R(x-y)$ の式に代入すると、次のようになります」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} (\partial^2+m^2) D_R(x-y) &=&\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\ &=&-i\delta(x^0-y^0)\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}})\\ &=&-i\delta^{(4)}(x-y). \end{eqnarray} }$

「ここで、上式の第２行目の $\delta(x^0-y^0)$ は、デルタ関数の時間成分（１次元）を表し、 $\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}})$ は、デルタ関数の空間成分（３次元）を表します。それゆえ、これらをまとめて時空間（４次元）で表したものが、 $\delta^{(4)}(x-y)$ となります」

$\delta(x^0-y^0)$ ：デルタ関数の時間成分（１次元）
　×
$\delta^{(3)}({\bf{x}}-{\bf{y}})$ ：デルタ関数の空間成分（３次元）
　↓
$\delta^{(4)}(x-y)$ ：デルタ関数の時空間成分（４次元）

「以上をまとめると、次の(2.56)式が導かれます」

${ \displaystyle \begin{eqnarray} (\partial^2+m^2)D_R(x-y)&=&\big(\partial^2\theta(x^0-y^0)\big)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\ &+&2\big(\partial_\mu\theta(x^0-y^0)\big)(\partial^\mu\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle)\\ &+&\theta(x^0-y^0)(\partial^2+m^2)\langle0\mid[\phi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\ &=&-\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle\\ &+&2\delta(x^0-y^0)\langle0\mid[\pi(x), \phi(y)]\mid0\rangle+0\\ &=&-i\delta^{(4)}(x-y). \end{eqnarray} }$
(2.56)